Sepercik Hikmah: Ciri bilangan habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.
Contoh : Apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah $2k$ untuk sebarang $k$ bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu $2k-1$ untuk sebarang $k$ bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2.
Bukti :
Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak $n$ digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10a_1 \times 10^{n-2} + 10a_2 \times 10^{n-3}) + \dots + 10a_{n-1} + a_n$
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}) + a_n$
Karena $10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1})$ habis dibagi $2$ , maka agar bilangan habis dibagi $2$ harusnya $a_n$ habis dibagi $2$ . Dimana $a_n$ adalah digit terakhir (satuan) dari angka kita. Sehingga ciri bilangan habis dibagi $2$ yaitu digit terakhirnya (satuannya) habis dibagi $2$ . Yaitu $0, 2, 4, 6, dan 8$ . Yang tidak lain merupakan bilangan genap.

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 3
Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3
Contoh : Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, $2+1+3=6$ . Karena $6$ (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi $3$ . Maka bilangan itu $(213)$ habis dibagi $3$ .
Bukti :
Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak $n$ digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$
Sekarang perhatikan ini
$10=9+1$
$100=99+1$
$1000=999+1$
$10000=9999+1$
$\vdots$
$10^n=(99 \dots 999)+1,$ pada bilangan $(99 \dots 999)$    sebanyak $n$ angka $9$
Kemudian perhatikan ini
$9 = 3(3)$
$99 = 3(33)$
$999 = 3(333)$
$\vdots$
$99 \dots 999=3(33 \dots 333),$ perhatikan bahwa $(99 \dots999 dan 33 \dots 333)$ jumlah digitnya sebanyak $n$
Dari situ kita dapatkan :
$10^n= 3(33 \dots 333)+1,$    $(33 \dots 333)$ jumlah digitnya sebanyak $n$
Disini kita akan menuliskan $(33 \dots 333), \dots, (333), (33), (3)$ sebagai lambang $r_1, r_2, \dots , r_i$ . Ingat bahwa $r_i$ adalah kelipatan $3$
Sehingga kita bisa menulis :
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1(3r_1+1)+a_2(3r_2+ 1)+ \dots + a_{n-1}(3r_{i-1}+1) + a_n$
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)= 3 (a_1r_1+a_2r_2+ \dots+ a_{n-1}r_{i-1}) + (a_1 + a_2 + \dots +a_{n-1}+ a_n)$
Karena $3(a_1r_1+a_2r_2+ \dots+ a_{n-1}r_{i-1})$ habis dibagi $3$ . Maka agar $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ habis dibagi $3$ . Harusnya $(a_1 + a_2 + \dots +a_{n-1}+ a_n)$ habis dibagi $3$ . Dimana $(a_1 + a_2 + \dots +a_{n-1}+ a_n)$
adalah jumlah angka-angkanya (jumlah digit-digitnya). Sehingga syarat bilangan habis dibagi $3$ adalah jumlah digit-digitnya harus habis dibagi $3$

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 4
Dua digit terakhir habis dibagi 4. Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis dibagi 4.
Contoh : Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4. Sehingga 326 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.
Bukti ditinggalkan sebagai latihan. Tips untuk membuktikan, langkah yang digunakan hampir sama dengan pembuktian bilangan habis dibagi dua. Hanya saja nantinya memakai angka 100. Karena 100 habis dibagi 4, sedangkan 10 tidak habis dibagi 4.

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 5
Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.
Contoh : Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5. Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5.
Buktinya sama dengan pembuktian pada ciri bilangan yang habis dibagi 2.

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 6
Ciri bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Atau bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2.
Contoh : apakah 234 habis dibagi 6? Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya. 2+3+4=9. Dan 9 habis dibagi 3. Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 dan bilangan itu genap. Maka 234 habis dibagi 6.
Kita juga bisa mengatakan bahwa jika bilangan habis dibagi ab, maka bilangan itu habis dibagi a dan habis dibagi b.
Bukti :
Misalkan bilangan itu z.
$ab \mid z$    $(ab$ membagi $z)$ atau $(z mod ab = 0)$ . menurut definisi, ada $x$ bilangan bulat sehingga $ab(x) = z$ .
Didapatkan $a(bx) = z$ dan $b(ax) = z$ . Sehingga diperoleh   $a\mid z$    dan   $b \mid z$ . Karena $6=2\times 3$ . Sehingga syarat bilangan habis dibagi $6$ . Harus memenuhi syarat bilangan habis dibagi $2$ dan syarat bilangan habis dibagi $3$ . Dengan kata lain, syarat bilangan habis dibagi $6$ adalah apabila digit-digitnya dijumlahkan harus habis dibagi $3$ dan angkanya berakhiran $0, 2, 4, 6,$ dan $8$ . Atau bisa dikatakan bilangan habis dibagi 6 adalah bilangan genap yang apabila digit-digitnya dijumlahkan maka habis dibagi 3

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 7
Bila bagian satuannya dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7, maka bilangan itu habis dibagi $7$ .
Contoh : apakah $5236$ habis dibagi 7? Kita pisahkan $6$ (satuannya), kemudian $523-(6 \times 2)=511$ . Apakah $511$ habis dibagi 7? $51-(1 \times 2)=49$ . Karena $49$ habis dibagi $7$ , maka $5236$ habis dibagi $7$ .
Bukti :
Misalkan bilangan awal adalah P
$P=(a_1a_2 \dots a_{n-1}a_n)$ sebanyak $n$ digit. Ini adalah bilangan awal.
$Q=(a_1a_2 \dots a_{n-1})$ bedakan dengan yang di atas. Yang ini berkurang satu digit.
Sehingga diperoleh hubungan antara $P$ dan $Q$ , yaitu $P=10Q+a_n$ .
$R=Q-2z$ ini adalah syarat bilangan habis dibagi 7.
Kita dapat menuliskan syarat bilangan habis dibagi 7 seperti ini : Jika bilangan habis dibagi 7 maka (perhatikan $R$ di atas) $R$ habis dibagi 7. Jika $R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7. Dari pernyataan itu bisa dikatakan : “bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika $R$ habis dibagi 7.” Sehingga kita harus membuktikan dua kali. yaitu untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka $R$ habis dibagi 7. Dan untuk jika $R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.
Bukti untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka $R$ habis dibagi 7
Bilangan awal yaitu $P$ . dan diketahui $P$ habis dibagi 7.
Kita tulis $7 \mid P$ (lambang $\mid$ adalah sebuah garis vertical pada keterbagian. Contohnya $a \mid b$ . Yang artinya $b$ habis dibagi $a$ . atau $a$ adalah factor dari $b$ )
$7 \mid P$
$7 \mid (10Q+z)$
Kita punya teorema, jika $a \mid b$ , maka $a \mid nb$ dengan $n$ bilangan bulat. Sehingga kita boleh menuliskan

$7 \mid 2(10Q+z)$
$7 \mid (20Q+2z)$
Sekarang perhatikan bahwa 21 habis dibagi 7. Tentunya kelipatan dari 21 juga habis dibagi 7.
$7 \mid 21Q$
$7 \mid (21Q+2z-2z)$
$7 \mid (20Q+2z)+(Q-2z)$
Dalam keterbagian, kita punya teorema jika $p \mid q$ dan $p \mid q+r$ maka $p \mid r$
Sehingga diperoleh
$7 \mid Q-2z$
$7 \mid R$
Terbukti

Bukti untuk jika $R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.
$7 \mid R$
$7 \mid Q-2z$
Menurut teorema, jika $a \mid b$ , maka $a \mid nb$ dengan $n$ bilangan bulat.
$7 \mid 10(Q-2z)$
$7 \mid (10Q-20z)$
Seperti halnya bukti yang pertama, 21 habis dibagi 7. Sehingga,
$7 \mid -21z$
$7 \mid -20z-z$
$7 \mid 10Q-10Q-20z-z$
$7 \mid 10Q-20z-(10Q+z)$
Ada teorema pada keterbagian yang mengatakan, jika $p \mid q$ dan $p \mid q+r$ maka $p \mid r$
$7 \mid -(10Q+z)$
Menurut teorema, jika $p \mid q$ maka $p \mid -q$ . Maka,
$7 \mid (10Q+z)$
$7 \mid P$
Terbukti

Bilangan habis dibagi 8
Tiga digit terakhir habis dibagi 8.
Contoh : apakah 2168 habis dibagi 8. Iya, karena 168 habis dibagi 8.
Buktinya diserahkan kepada pembaca. Tipsnya, gunakan langkah yang mirip dengan ciri bilangan habis dibagi 2 dan 4. Nantinya akan ditemukan suatu hal yang menarik bahwa ciri bilangan habis dibagi $2^n$ akan ada hubungannya dengan $n$ digit terakhirnya

Bilangan yang habis dibagi 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh : apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu 8 + 1 + 9 = 18. Dan 18 habis dibagi 9. Sehingga 819 habis dibagi 9.

sumber: http://melajahmatik.wordpress.com

Sepercik Hikmah

Senin, 25 Februari 2013

Ciri bilangan habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9

Tidak ada komentar:

Posting Komentar